Электронный научный журнал

Информационно-коммуникационные технологии
в педагогическом образовании

12+

ФУНКЦИЯ «АНТЬЕ» В ОЛИМПИАДНЫХ ЗАДАЧАХ

Авторы: Л. А. Осипова, Е. Е. Рябинина
Раздел: Проблемы и перспективы современного физико-математического образования

УДК 511

Е. Е. Рябинина, Л. А. Осипова

Е. Е. Ryabinina, L. A. Osipova

Рябинина Елизавета Евгеньевна, студентка 3 курса ФМиТЭФ, НФИ КемГУ, г. Новокузнецк.

Осипова Людмила Александровна, к.п.н., доцент, НФИ КемГУ, г. Новокузнецк.

Riabinina Elizaveta Evgenievna, 3-year student Physical-mathematical and technological-economical faculty, Novokuznetsk Institute (branch) of Kemerovo State University, Novokuznetsk.

Osipova Ludmila Aleksandrovna, Candidate of Pedagogical Sciences, associate Professor, Novokuznetsk Institute (branch) of Kemerovo State University, Novokuznetsk.

ФУНКЦИЯ «АНТЬЕ» В ОЛИМПИАДНЫХ ЗАДАЧАХ

«ANTIE» FUNCTION IN THE OLYMPIAD TASKS

Аннотация. Автором рассмотрено применение функции «антье» при решении олимпиадных задач различного уровня сложности.

Annotation. The author considers the application of the function «antie» in solving Olympiad problems of various complexity levels.

Ключевые слова: функция, целая часть числа, олимпиадные задачи, теория чисел.
Keywords: function, integer part of a number, Olympiad problems, number theory.

Целой частью действительного числа α называется наибольшее целое число, не превосходящее α, т.е. целое число n, такое, что n ≤ α < n+1. Целая часть числа α обозначается [α]. Следовательно,

[α] ≤ α < [α] + 1 [1, c. 48].

Функцию от целого числа [α] называют функцией «антье».

Рассмотрим примеры олимпиадных задач, в которых используется функция «антье».

Задача 1. (V Соросовская олимпиада).

Решите систему уравнений:

Решение: Пусть a = [x], α = {x}, b = [y], β = {y}, c = [z], γ = {z}, где a, b, c – целые числа, 0 ≤ α < 1, 0 ≤ β < 1, 0 ≤ γ < 1.

В этих обозначениях система имеет вид

Складывая уравнения системы, получим

2 (a + b + c + α + β + γ)=9,4, то есть

(a + b + c + α + β + γ) = 4,7.

Вычитая из полученного уравнения последовательно первое, второе и третье уравнения системы, имеем

откуда следует, что с = 0, β = 0,8, a = 1, γ = 0,2, b = 2, α = 0,7.

Ответ: (1,7; 2,8; 0,2) [2, c. 16].

Задача 2.

Решите уравнение: .

Решение: Найдём ОДЗ системы: x ≥ 0.

Рассмотрим два случая: 0 ≤ x < 1 и x ≥ 1.

  • Если x ≥ 1 , то [x] ≥ 1 и . В этом случае уравнение решений не имеет.
  • Если же 0 ≤ x < 1 , то [x] = 0 и уравнение принимает вид , откуда
    x = .

Ответ: .

Задача 3.

Найти [x], если .

Решение: чтобы найти целую часть числа достаточно оценить данное число.

Так как , то x > 1.

Оценим справа значение x. Так как

Получили:

Значит 1 < x < 2. Тогда [x] = 1.

Ответ: 1 [2, с. 19].

Задача 4.

Докажите, что  – нечетное число.

Решение: запишем

где А – сумма всех слагаемых, содержащих четную степень   (А – натуральное число), а В – сумма всех слагаемых, содержащих нечетную степень  (В – натуральное число).

Тогда

Но 2А – 1 – натуральное число, а число  – положительное число меньшее 1.

Получили, что число  равно сумме натурального числа 2А – 1 и положительного числа меньшего единицы
тогда

а 2А – 1 – нечетное число, значит  – нечетное число.

Что требовалось доказать [3, с. 30].

Список литературы

  1. Бухштаб, А. А. Теория чисел: Учебное пособие [Текст] / А. А. Бухштаб. – 3-е изд., стер. – СПб. : Издательство «Лань», 2008. – 384 с.: ил.
  2. Евсюк, С. Л. Математика. Решение задач повышенной сложности [Текст] / С. Л. Евсюк. – Минск : «Мисанта», 2003. – 44 с.
  3. Абрамов, А. М. Задачи повышенной трудности по алгебре и началам анализа [Текст] / А. М. Абрамов, Б. М. Ивлев. – М. : «Просвещение», 1990.
Теги: функция, целая часть числа, олимпиадные задачи, теория чисел, function, integer part of a number, Olympiad problems, number theory

Оставить комментарий







Авторизация
E-mail

Пароль  


Регистрация