Электронный научный журнал

Информационно-коммуникационные технологии
в педагогическом образовании

12+

РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УПРАЖНЕНИЙ ДВУМЯ СПОСОБАМИ

Авторы: М. Е. Нагловский, С. В. Сафьянова
Раздел: Проблемы и перспективы современного физико-математического образования

УДК 373.5.016:514

М. Е. Нагловский, С. В. Сафьянова

M. E. Naglovskiy, S. V. Safyanova

Нагловский Максим Евгеньевич, ученик 10 класса, МБОУ «Лесоперевалочная СОШ № 2», РХ, с. Бельтирское, Аскизский район.

Сафьянова Светлана Викторовна, учитель математики, МБОУ «Лесоперевалочная СОШ № 2», РХ, с. Бельтирское, Аскизский район.

Naglovskiy Maxim Evgenyevich, 10-th form student, MBOU «Lesoperevalochnaya SOSH № 2», RH, Beltirskoye village, Askizsky district.

Safyanova Svetlana Victorovna, teacher of mathematics, MBOU «Lesoperevalochnaya SOSH № 2», RH, Beltirskoye village, Askizsky district.

РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УПРАЖНЕНИЙ ДВУМЯ СПОСОБАМИ

SOLUTION OF TRIGONOMETRIC EXERCISES IN TWO WAYS

Аннотация. Статья посвящена решению тригонометрических упражнений двумя способами. Приводятся примеры упражнений, направленных на развитие математических знаний и познавательных универсальных учебных действий: на поиск способов и решений упражнений.

Annotation. The article is devoted to solving trigonometric exercises in two ways. Examples of exercises aimed at the development of mathematical knowledge and cognitive universal educational activities are given: on the search for ways and solutions of exercises.

Ключевые слова: геометрический и аналитический способы, тригонометрические формулы, основные тригонометрические функции.

Keywords: geometric and analytical methods, trigonometric formulas, basic trigonometric functions.

Цель работы: Изучить различные способы решения тригонометрических тождеств и примеров.

Задачи:

  1. Изучить дополнительную литературу.
  2. Рассмотреть особенности решения различных тригонометрических упражнений двумя способами.
  3. Показать практическое применение полученных знаний и оценить степень сложности.
  4. Познакомить одноклассников с результатами полученных исследований.

Актуальность темы: Углубить математические знания через особенности решения различных тригонометрических упражнений двумя способами.

Предмет исследования: тождества и примеры.

Гипотеза: в математике встречаются тригонометрические тождества и примеры, которые можно решать разными способами.

Методы исследования: поисковый, исследовательский.

Практическая значимость исследовательской работы: полученные знания при решении тригонометрических упражнений двумя способами можно использовать при решении подобных тождеств на ОГЭ и ЕГЭ.

Все упражнения и тождества решаются аналитическим или геометрическим способом.

Основная часть

1.       Вычислить tg 15°.

I способ (аналитический с помощью тригонометрических формул).

II способ (геометрический).

Рассмотрим равнобедренный ∆АВС [3], где АВ = ВС с ∠АВС = 30°. Проведем в нем высоты АД и ВЕ. Тогда в ∆АДС ∠САД = 15°, а tg 15° = . Пусть АД = 1, тогда в ∆АВД АВ = 2АД = 2*1 = 2, АВ = 2 и ВД = АВ – АД = 4 – 1 = 3, ВД = √3. Отсюда следует, что СД = 2 – √3 и tg 15° = = 2 – √3.

Геометрический способ интересен и не сложен.

2.       Вычислить tg 22°30´.

I способ.

Применим формулу [2] и, подставив конкретные значения, получим:

С помощью тригонометрической формулы легко решается.

II способ (рис. 2).

Рассмотрим равнобедренный ∆АВС (АВ = ВС) с ∠АВС = 45°, тогда
∠ВСА = 67°30´. Проведем ∆АВС высоту АД, при этом получившийся ∠САД = 180° – (90° + 67°30´) = 22°30´, tg 22°30´ = СД / АД. Пусть АД = 1, тогда вычислим СД: СД = ВС – ВД = АВ – ВД = √2-1, т. е получили tg 22°30´ = √2 – 1  [4].

3.       Доказать тождество cos 36° – cоs 72° = .

I способ.

II способ (рис. 3).

Рассмотрим равнобедренный треугольник ∆АВС (АВ = ВС), у которого АД = ВС = АС.

Пусть ∠ВАД = х°, ∠ДАС = х°, ∠АДС = (2х)°, ∠АСД = (2х)°, ∠АДВ = (3х)°. Суммы углов в треугольниках АВД, АСД и АВС равны (5х)°, т. е. (5х)° = 180°, х = 36° и ∠АДС = 72°.

По построению точка Д ϵ ВС, т. е. ВС = ВД + ДС. Пусть ВД = 1, тогда СД = 2 cos 72° и АВ = 2 cos 36°.

Так как АВ = ВС, то 2 cos 36° = 1+2 cos 72°, или cos 36° – cos 72° =    [3].

Зная факт, что основание равнобедренного треугольника равно удвоенному произведению боковой стороны на косинус угла при основании, задачи геометрическим способом легко решаются.

4.       Проверить равенство cos 40° + cos 80° = cos 20°.

I способ.

Применим формулу суммы косинусов двух углов:

II способ (рис. 4).

Рассмотрим равнобедренный треугольник АВС (АВ = ВС) с ∠АВС = 20°. Возьмем на стороне АВ точку E, а на стороне ВС точки Д и F такие, что ВF = FЕ = ДА.

В ∆ВЕF: ∠ЕВF = ∠ЕFВ = 20°.

В ∆ДЕF: ∠ЕFД = ∠ЕДF = 40°.

В ∆ЕДА: ∠АЕД = ∠ЕАД = 60°, значит ∆ЕДА – равносторонний.

В ∆АДС: ∠ДАС = 20°, ∠АДС = 80° и ∠АСД = 80°. Получили, что ∆АДС – равнобедренный (АД = АС) и подобен ∆АВС.

Итак, ВЕ + АЕ = ВF + FД + ДС.

Пусть ВF = 1, тогда ВЕ = 2 cos 20°, АЕ + 1, FД = 2 cos 40°, ДС = 2 cos 80°.

Подставим полученные значения, получим 2 cos 20° + 1 = 1 + 2 cos 40° + 2 cos 80°, равенство сos 40° + cos 80° = cos 20° верно.

Интересный способ, но надо быть внимательным при вычислении градусной меры углов.

5.       Доказать тождество [4].

I способ.

Обозначим sin() за t, тогда данное выражение примет вид:

заменим: .

II способ (рис. 5).

Рассмотрим равнобедренный ∆АВС, где АВ + ВС и точку Д такую, что АД + ВД, ДС = АС.

Вычислим получившиеся углы.

∆АВД, ∆АДС и ∆АВС равнобедренные.

Обозначим ∠АВС через х, получим, что 7х = 180°, х = ().

Выберем точку Д так, чтобы ВС = ВД + ДС, или АВ = АД + АС.

Возьмем высоту треугольника АН = 1, тогда: в ∆АВН (АН ┴ ВН)

Очень сложные способы.

6.       Вычислить sin 18°.

I способ.

Известно, что sin 36° = sin(90° – 54°) = сos 54°, тогда sin 36° = сos 54° = сos(18° + 36°);

2 sin 18° cos 18° = сos 18° cos 36° – sin 18° sin 36°

2 sin 18° cos 18° = cos 18° (1 – 2 sin2 18°) – 2 sin2 18° cos 18°

Так как 0 < cos 18°, то 2 sin 18° = 14 sin18°. Поскольку 0 < sin 18°, то решение уравнения sin 18° = .

II способ (рис. 6).

Треугольники АВС и САД подобны, так как оба они равнобедренные с общим углом при основаниях (∠ACB = ∠ACD). Значит, , т. е. АС = АВ * СД.

Пусть АС = а и АВ = в (а<в, так как ∠АВС = 36° и ∠АСВ = 72°), тогда
СД = в – а и а= в– ав. Разделим получившиеся выражение на в, получим
а/ в+ а / в – 1 = 0 (а/в>0), отсюда

Так как sin 18° = cos 72°, а cos 72° = (½ СД) / АС = ½ * АС/АВ = ½ * а/в, то sin 18° = .

Опрос учащихся

1. Одноклассникам (10 класс – всего 15 человек) нами было предложено решить задачи наиболее рациональным и понятным для них способом. В результате чего выявлено:

Решили аналитическим способом:

Ÿ  все задачи – 6 человек;

Ÿ  решили 4 задачи – 7 человек;

Ÿ  решили 3 задачи – 11 человек.

Решили геометрическим способом, хотя бы одну задачу – 3 человек.

В итоге выявлено: аналитическим способом, т. е. с помощью применения тригонометрических формул, решают 73 % учащихся, а геометрическим способом – 20 %.

2. Учащимся 9а класса – всего 19 человек, предложено решить те же задания.

В результате чего было выявлено:

Решали аналитически, т. е. с помощью тригонометрических формул – 8 человек, т. к. не все тригонометрические формулы знают.

Геометрическим способом решили 6 человек.

Девятиклассниками было отмечено, что вычислить tg 22°30´ – не очень сложно. Доказать тождество cos 36° – cоs 72° = 1/2 и вычислить sin 18° оказалось значительно сложнее. Не смогли доказать тождество .

Заключение

Работа над данным исследованием показала, что изучение различных способов решения задач – не прихоть математиков, а объективная необходимость.

В ходе исследования было выявлено, что современной науке известно много способов, которые позволяют быстро и эффективно справиться с предложенными заданиями. У всех способов различные алгоритмы и степень сложности.

Были проработано два способа, показано их практическое применение, доказаны все недостатки и преимущества каждого из способов. Аналитический способ, позволяет вычислить, доказать, но надо знать тригонометрические формулы и быть внимательным при подсчете. Геометрический способ позволяет увидеть решение, но надо догадаться какую фигуру надо взять и в ней провести.

Список литературы

  1. Мордкович, А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. [Текст] / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. – М. : Мнемозина, 2010. – 226 с.
  2. Мордкович, А. Г. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. В 2 ч. Ч. 1. [Текст] / А. Г. Мордкович. – 10 изд., стер. – М. : Мнемозина, 2009. – 399 с.
  3. Атанасян, Л. С. Геометрия. 7-9 классы : учеб. общеобразоват. уч-реждений [Текст] / Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – 20-е изд. – М. : Просвещение, 2010. – 384 с.
  4. Математика в школе [Текст] // Научно-теоретический и методический журнал «Математика в школе», 2005. – № 7.
Теги: геометрический и аналитический способы, тригонометрические формулы, основные тригонометрические функции, geometric and analytical methods, trigonometric formulas, basic trigonometric functions

Оставить комментарий







Авторизация
E-mail

Пароль  


Регистрация