Электронный научный журнал

Информационно-коммуникационные технологии
в педагогическом образовании

12+

РАЗНЫЕ СПОСОБЫ ПРИ РЕШЕНИИ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ

Авторы: К. Б. Милюхина, С. А. Сердюк
Раздел: Проблемы и перспективы современного физико-математического образования

УДК 373.5.016:514

К. Б. Милюхина, С. А. Сердюк

K. B. Milyukhina, S. A. Serdyuk

Милюхина Кристина Борисовна, ученица 9 класса МБОУ «Лесоперевалочная СОШ № 2», РХ, с. Бельтирское, Аскизский район.

Руководитель: Сердюк Светлана Анатольевна, учитель математики, МБОУ «Лесоперевалочная СОШ № 2», РХ, с. Бельтирское, Аскизский район.

Milyukhina Christine Borisovna, 9th grade student, MBOU «Lesoperevalochnaya SOSH № 2», RH, Beltirskoye village, Askizsky district.

Supervisor: Serdyuk Svetlana Anatolevna, the mathematics teacher, MBOU «Lesoperevalochnaya SOSH № 2», RH, Beltirskoye village, Askizsky district.

РАЗНЫЕ СПОСОБЫ ПРИ РЕШЕНИИ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ

DIFFERENT METHODS FOR SOLVING GEOMETRIC PROBLEMS

Аннотация. Статья посвящена решению геометрической задачи разными способами. Приводятся различные способы при решении одной задачи, направленных на развитие математических знаний и познавательных универсальных учебных действий: на поиск способов и информации.

Annotation. The article is devoted to solving the geometric problem in different ways. Various methods are presented for solving one problem aimed at the development of mathematical knowledge and cognitive universal educational actions: to find ways and information.

Ключевые слова: геометрический способ, метод координат, тригонометрический способ, метод площадей, теорема Менелая.

Keywords: geometrical method, coordinate method, trigonometric method, method of squares, theorem of Menelaus.

Основная часть

Задача: В треугольнике ABC биссектриса BF и медиана AK перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 208. Найдите стороны треугольника ABC [4].

Решение 1. Геометрический способ (рис. 1)

1)    О – точка пересечения отрезков BF и AK.

Треугольник ABK – равнобедренный, так как его биссектриса BO является высотой, значит AO = OK = 104, BC = 2BK = 2AB.

2)    По свойству биссектрисы треугольника: ,

CF = 2AF, AC = 3AF [1].

3)    Проведем через вершину B прямую, параллельную AC.

P - точка пересечения прямой BP с медианой AK, BP=AC=3AF.

4)    Треугольники AOF и BOP подобны, значит , тогда OF=52, BO=156.

5)    Рассмотрим треугольник AOB - прямоугольный, применяя теорему Пифагора, найдем сторону AB: AB =AO + BO , AB =104 +156,

AB = 10816 + 24336, AB = 2704*13, AB = 52 , значит
BC =2AB = 104 .

6)    Рассмотрим треугольник AOF – прямоугольный, применяя теорему Пифагора, найдем сторону AF: AF = AO+ FO= 104+ 52= 2704 * 5,

AF =52√5, AC =3 * 52√5 =156√5 .

Ответ: AB = 52, BC = 104, AC = 156√5.

Решение 2. Метод координат (рис. 2)

1)    BF = 208, AK = 208.

Введем прямоугольную систему координат, O - точка пересечения биссектрисы BF и медианы AK. Треугольник AOB равен треугольнику KOB (прямоугольные), значит AO = OK = 104, AB = BK, BC = 2BK = 2AB.

Решение 3. Применение теоремы о средней линии треугольника (рис. 3)

1)    Рассмотрим треугольник BFC: проведем среднюю линию KM.

2)    Так как KM ⎥⎥ BF и AO = OK, то OF – средняя линия треугольника AKM [1].

3)    Так как BF = 208, то OF = 52, BO = 156

4)    По теореме Пифагора, найдем стороны треугольника ABC:

Решение 4. Тригонометрический способ (рис. 4)

1)    Пусть AB = x, ∠ABC = 2β.

Применяя теорему косинусов [1], рассмотрим ∆ABF, выразим AF:

Решение 5. Метод площадей (рис. 5)

1)    Так как AO=OK=104, BF=208, AK┴BF, то

Итак, BO = 156, AO = 104, OF = BF – BO = 208 – 156 = 52.

5)    Применяя теорему Пифагора, найдем стороны ∆ABC:

AB = 52

BC = 2AB = 104

AC = 156√5

Ответ: AB = 52, BC = 104, AC = 156√5.

Решение 6. Применение теоремы Менелая (рис. 6)

Менелай Александрийский – древнегреческий математик и астроном.

Теорема Менелая. Пусть прямая пересекает треугольник ABC, причем C1 – точка её пересечения со стороной AB, A1 – точка её пересечения со стороной BC, и B1 – точка её пересечения с продолжением стороны AC, тогда [2, 7].

1)    Секущая BF пересекает стороны ∆АСК в точках О и F, и продолжение стороны CK в точке В.

Применяя теорему Менелая, рассмотрим ∆ACK и секущую BF:

Заключение

Решая задачи вышеуказанными способами, изучая дополнительный материал, мы пришли к выводу, что существуют рациональные способы решения геометрических задач. С одноклассниками данную задачу решали первым способом, т.е. геометрическим (применяли дополнительное построение). При решении данной задачи самый рациональный способ (простой и доступный) – применение теоремы о средней линии треугольника. Метод площадей тоже несложный и удобный. Тригонометрический способ неудобен для больших чисел. При работе над темой, мы познакомились с теоремой Менелая. Способ ее применения оказался весьма оригинален и интересен. Считаю, что цель работы достигнута. Полученные знания пригодятся нам и моим одноклассникам при сдачи ОГЭ.

Список литературы

  1. Атанасян, Л. С. Геометрия. 7-9 классы : учеб. общеобразоват. уч-реждений [Текст] / Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – М. : Просвещение, 2015. – 384 с.
  2. Атанасян, Л. С. Геометрия. 10-11 классы: учебник для общеобразовательных учреждений [Текст] / Л. С. Атанасян и др. – М. : Просвещение, 2011.
  3. Балаян, Э. Н. Геометрия: задачи на готовых чертежах для подготовки и ОГЭ и ЕГЭ. 7-9 классы [Текст] / Э. Н. Балаян. – Ростов на/Д. : Феникс, 2015.
  4. Высоцкий, И. Р. ОГЭ 2018. Математика. 50 вариантов. Типовые тестовые задания от разработчиков ОГЭ [Текст] / И. Р. Высоцкий, Л. О. Рослова и т.д.; под редакцией И. В. Ященко. – М. : Издательство «Экзамен», 2018. – Вариант 15, С. 97.
  5. Готман, Э. Г. Задачи по планиметрии и методы их решения: Пособие для учащихся. [Текст] / Э. Г. Готман. – М. : Просвещение, 1996.
  6. Зив, Б. Г. Задачи по геометрии: пособие для учащихся 7-11 классов [Текст] / Б. Г. Зив, В. М. Мейлер. – М. : Просвещение, 2014.
  7. Теорема Менелая [Электронный ресурс] // Википедия. – Режим доступа : https://ru.wikipedia.org/wiki/Теорема_Менелая
Теги: геометрический способ, метод координат, тригонометрический способ, метод площадей, теорема Менелая, geometrical method, coordinate method, trigonometric method, method of squares, theorem of Menelaus

Оставить комментарий







Авторизация
E-mail

Пароль  


Регистрация