ОБУЧЕНИЕ СТАРШЕКЛАССНИКОВ РЕШЕНИЮ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ МЕТОДОМ МАЖОРАНТ
Раздел: Научно-практическая работа студентов педагогического вуза
Журнал: Научно-практическая деятельность студентов педагогического вуза
13 июня 2012 г.
Авторы: Дементьева Ирина Анатольевна
И. А. Дементьева
Научный руководитель: Любичева Вера Филлиповна.
ОБУЧЕНИЕ СТАРШЕКЛАССНИКОВ РЕШЕНИЮ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ МЕТОДОМ МАЖОРАНТ
Уже в течение нескольких лет на старшей ступени общего образования проводится ЕГЭ по математике, который включает задания, как обязательного, так и повышенного уровня. Среди последних встречаются нестандартные математические задачи, в роли которых чаще всего выступают уравнения и неравенства. Одним из эффективных и оригинальных методов решения нестандартных уравнений и неравенств является метод мажорант. При этом в школьных учебниках алгебры и начал анализа материал о данном методе отсутствует.
Метод мажорант – метод выявления ограниченности функции. Мажорирование – нахождение точек ограничения функции.
Мажоранта и миноранта – (от франц.) две функции, значение первой из которых не меньше, а второй - не больше соответствующих значений данной функции [1].
Этот нестандартный метод решения уравнений и неравенств заключается в том, что одна часть уравнения (или неравенства) ограничена сверху неким числом М, а другая часть уравнения (или неравенства) ограничена снизу этим же числом М, мажорантой.
Другими словами, если имеем f(x) = g(x), известны D(f) и D(g),
f(x) ≤ M и g(x) ≥ M, то 
[3]
В демоверсии ЕГЭ 2010-2011, 2011-2012 метод мажорант было логично использовать при решении заданий С3 и С5.
Рассмотрим задания из демонстрационного варианта ЕГЭ 2010-2011 учебного года, при решении которых можно использовать метод мажорант [4].
С3 Решить неравенство: 
Решение 1.
Преобразуем неравенство: 
Найдем, при каких значениях х левая часть неравенства имеет смысл:
Получаем: -3<x<-2 или -2<x<3.
Значит, 
при всех допустимых значениях х. Поэтому
Сделаем замену: 
. Получаем:
Таким образом, 
, откуда 
Корни уравнения: -6 и -1. Условию -3<x<-2 или -2<x<3 удовлетворяет только х = -1.
Ответ:{-1}.
Решение 2.
Можно не находить область допустимых значений х, а прийти к соотношению |x-3|=3-x другим способом. Тогда решение будет немного короче.
Преобразуем неравенство: 
Заметим, что x+3>0 и (3-x)(3+x)>0. Значит, 3-x>0.
Поэтому |x-3|=3-x. Получаем: 
Сделаем замену: 
Получаем:
Таким образом,
Ответ: {-1}.
С5 Найдите все значения а, при каждом из которых система:
имеет единственное решение.
Решение.
Пусть система имеет решение (х;у). Если 
, то система имеет второе решение (-х;у). Значит, решение может быть единственным, только при х=0.
Подставим х=0 в первое уравнение: у=а-2. Пара (0;а-2) должна удовлетворять второму уравнению:
откуда а=0 или а=4.
Для каждого из двух найденных значений параметра нужно проверить, действительно ли данная система имеет единственное решение.
Первый случай: а=0. Система принимает вид: 
Графиком функции 
является угол, который имеет с окружностью 
три общие точки (см. рисунок). Значит, при а=0 система имеет три решения.
Второй случай: а=4. Система принимает вид: 
Из первого уравнения следует, что при , y>2, а из второго уравнения при получаем, что |y|<2. Следовательно, при система решений не имеет. Значит, при а=4 есть только одно решение х=0, у=2.
Ответ: а=4.
Рассмотрим задания из демонстрационного варианта ЕГЭ 2011-2012 учебного года, при решении которых можно использовать метод мажорант [2].
С3 Решите систему неравенств: 
Решение.
1. Неравенство 
запишем в виде: 
Относительно новой переменной 
неравенство имеет вид: 
откуда получаем: 
Значит, 
1. Второе неравенство системы определено при 
то есть при x<-1 и x>2.
При допустимых значениях переменной получаем:
С учетом области допустимых значений переменной получаем решение второго неравенства системы: 
1. Сравним 
и 
Так как, 
, то 
.
Следовательно, 
Решение системы неравенств: 
Ответ:
С5 Найдите все значения а, при каждом из которых наименьшее значение функции 
больше 1.
Решение.
1. Функция f имеет вид:
а) при 
а ее график есть две части параболы с ветвями, направленными вверх, и осью симметрии х=4-а;
б) при 
а ее график есть часть параболы с ветвями, направленными вниз.
Все возможные виды графиков функции f(x) показаны на рисунках 2-5:
2. Наименьшее значение функции f(x) может принять только в точках х=1 или х=7, а если 4-а
[1;7] - то в точке х=4-а.
3. Наименьшее значение функции f больше 1 тогда и только тогда, когда:
Рис.2 Рис.3
Рис.4 Рис.5
Ответ: 
.
Автором были спроектированы уроки для ознакомления учащихся с методом мажорант. Для проверки эффективности сконструированных уроков проводился педагогический эксперимент в муниципальном образовательном учреждении «Лицей №34» города Новокузнецка в двух 11-х классах в течение III четверти 2011 - 2012 учебного года. Главной целью эксперимента была проверка выдвинутой гипотезы: обучение старшеклассников решению уравнений и неравенств методом мажорант будет эффективным, если в совместной деятельности учителя и учащихся выделить сущность этого метода; сформировать у учащихся ориентир для выбора метода мажорант из других методов решения уравнений и неравенств; научить учащихся применять схему решения уравнений и неравенств методом мажорант; обосновывать выбор метода мажорант для решения уравнений и неравенств.
В ходе педагогического эксперимента гипотеза получила свое подтверждение.
Поэтому можно говорить о целесообразности ознакомления выпускников с методом мажорант для успешной сдачи ЕГЭ.
Литература
- Аляева О.Н. Использование ограниченности функций при решении конкурсных задач [электронный ресурс] // Zavuch.ru : [сайт]. URL : http://www.zavuch.info/index.php
- Вариант ЕГЭ 2011. Математика [электронный ресурс] // Zavuch.info : [сайт]. URL : http://www.zavuch.info/metodichka/tochnie/algebra/algdidact
- Кожухов И. Б., Прокофьев А.А. Математика. Полный справочник / И.Б. Кожухов, А.А. Прокофьев. – М.: Махаон, 2007. – 352 с.
- Корянов А.Г. Математика. ЕГЭ 2010. Задания типа С1-С6. Методы решения [электронный ресурс] // Аlleng.ru : [сайт]. URL : http://www.alleng.ru/d/math/math468.htm