Информационно-коммуникационные технологии
в педагогическом образовании

Изучение многих физических и геометрических закономерностей нередко приводит к решению задач с параметрами.

В настоящее время на выпускных экзаменах школьники часто встречаются с уравнениями, неравенствами и системами с параметрами, которые часто бывают весьма сложными и требующими нестандартного подхода к решению. Решение задач с параметрами вызывает большие трудности, так как их изучение не является отдельной составляющей школьного курса математики, и рассматривается только на немногочисленных факультативных занятиях, а их решение требует не только знания свойств функций и уравнений, умения выполнять алгебраические преобразования, но также высокой логической культуры и хорошей техники исследования.

Трудности при изучении данного вида уравнений связаны со следующими их особенностями: обилие формул и методов, используемых при решении уравнений данного вида; возможность решения одного и того же уравнения, содержащего параметр, различными методами.

Уравнение вида называется уравнением, содержащим параметры, где a, b, c, ..., k – параметры, x - неизвестное.

Параметром называется независимая переменная, значение которой в задаче считается заданным, фиксированным или произвольным действительным числом, или числом, принадлежащим заранее оговоренному множеству.

Выделяют несколько типов задач с параметрами.

1. Задачи, которые необходимо решить для всех значений параметра или для значений параметра из заданного промежутка.

Например. Решите уравнение в зависимости от параметра a.

1. Задачи, где требуется найти количество решений в зависимости от значения параметра.

Например. Определить количество решений уравнения .

1. Задачи, где необходимо найти значения параметра, при которых задача имеет заданное количество решений.

Например. Дано уравнение . Определить значения параметра a, при которых оно имеет единственное решение.

1. Задачи, в которых необходимо найти значения параметра, при которых множество решений удовлетворяет заданным условиям.

Например. При каком значении параметра a решением уравнения является множество .

 К основным методам решения задач с параметрами относятся:

• метод «ветвления»;

• использование свойств функций в задачах с параметрами;

• графический метод.

Метод «ветвления»

Поскольку уравнение с параметром это целый класс уравнений, то решать надо сразу весь этот класс, что влечет за собой необходимость разбора различных случаев в зависимости от определенных значений параметра.

Именно этот факт и позволяет нам решать уравнения с параметром таким методом («ветвления»).

Пример 1. Решить уравнение

В зависимости от значений параметра m.

Решение. .

.

ОДЗ:

Достаточно рассмотреть три случая, т. к. число m стоит под знаком модуля, следовательно, может принимать как положительные, так и отрицательные значения, и отдельно следует рассмотреть случай, когда m=0.

1. m=0.

Уравнение будет выполняться при любых значениях x, удовлетворяющих ОДЗ. Следовательно, при m=0

1. .

.

Замена: , .

Проверим, являются ли данные корни корнями исходного уравнения.

.

- посторонние корни.

Выполняя аналогичные действия для , заключаем, что - корни исходного уравнения.

1. Аналогично пункту 2 рассматриваем случай и заключаем, что - корни исходного уравнения.

Ответ: при ; при ; при

Свойства функций в задачах с параметром

Для успешного решения уравнений с параметрами нужно не только владеть основными приемами их решения, но и знать и уметь применять некоторые преобразования, основанные на свойствах функций. Сформулируем некоторые из них в виде теорем.

Теорема 1. Если функция f(x) возрастает (убывает) на промежутке I и функция g(x) возрастает (убывает) на промежутке I, то функция h(x)=f(x)+g(x)+C также возрастает (убывает) на промежутке I (C – произвольная постоянная).

Теорема 2. Если функция f(x) неотрицательна и возрастает на промежутке I, функция g(x) неотрицательна и возрастает на промежутке I, , то функция также возрастает на промежутке I.

Аналогичное свойство имеет место и для убывающих функций, а также для .

Теорема 3. Если функция f(t) монотонна на промежутке I, то уравнение f(g(x))=f(h(x)) равносильно на промежутке I уравнению g(x)=h(x).

Теорема 4. Если функция f(x) монотонна на промежутке I, то уравнение f(x)=C имеет на промежутке I не более одного корня.

Теорема 5. Если функция f(x) возрастает на промежутке I, а функция g(x) убывает на промежутке I, то уравнение f(x)=g(x) имеет на промежутке I не более одного корня.

Теорема 6. Если функция f(x) возрастает на промежутке I, то уравнение f(f(x))=x равносильно на промежутке I уравнению f(x)=x.

Теорема 7. Если для функций f(x) и g(x) , то

Пример 2. Найдите все значения параметра a, при которых уравнение имеет ровно один корень.

Решение.

Рассмотрим функцию . По теореме 1 она является возрастающей на множестве всех действительных чисел.

Тогда исходное уравнение можно записать в виде .

По теореме 3 оно равносильно уравнению .

Т. к. по условию задачи нужно найти те значения параметра, при которых уравнение имеет ровно один корень, а это возможно, когда дискриминант полученного равносильными преобразованиями квадратного уравнения равен нулю, то .

Ответ: при уравнение имеет ровно один корень.

Графические методы

Координатная плоскость (x;y)

Задачи, содержащие параметр, требуют к себе своеобразный подход, здесь необходимо грамотное и тщательное исследование. Для применения графических методов требуется умение выполнять дополнительное построение различных графиков, вести графические исследования, соответствующие данным значениям параметра.

Пример 3. Для каждого значения параметра определить число решений уравнения .

 

Решение. Построим график функции .

Пусть , тогда

- окружность с центром в точке (1;0) и радиусом 1.

Пусть , тогда

- окружность с центром в точке (-1;0) и радиусом 1.

Рассмотрим функцию . Это прямая параллельна оси Оx. Построим следующие случаи этой прямой: .

Из полученного графика хорошо видно, что при уравнение решений не имеет, при уравнение имеет два решения, при – три решения, при - четыре решения.

Ответ: при уравнение решений не имеет, при уравнение имеет два решения, при – три решения, при - четыре решения.

Координатная плоскость (x;a)

Рассмотрим метод, упрощающий работу по решению уравнений с параметром. Метод состоит в следующем:

• из уравнения с переменной x и параметра a выразим параметр как функцию от x: ;

• в координатной плоскости xOa строим график функции ;

• Рассмотрим прямые и выделим те промежутки оси Oa, на которых эти прямые удовлетворяют следующим условиям: a) не пересекает график функции ,

б) пересекает график функции в одной точке,

в) в двух точках,

г) в трех точках и так далее.

• Если поставлена задача найти значения x, то выражаем x через a для каждого из найденных промежутков значения a в отдельности.

Взгляд на параметр как на равноправную переменную находит свое отражение в графических методах. Таким образом, возникает координатная плоскость . Казалось бы, такая незначительная деталь, как отказ от традиционного обозначения координатной плоскости буквами x и y определяет один из эффективнейших методов решения задач с параметрами.

Описанный метод очень нагляден. Кроме того, в нем находят применение почти все основные понятия курса алгебры и начал анализа. Задействуется весь набор знаний, связанных с исследованием функции: применение производной к определению точек экстремума, нахождение предела функции, асимптот и т. д.

Пример 4. При каких значениях параметра уравнение имеет два корня?

Решение. Переходим к равносильной системе

Найдем координаты вершины параболы: (0,5; -0,25).Построим график функции.

Из графика видно, что при уравнение имеет 2 корня.

Ответ: при уравнение имеет два корня.

Трансцендентное уравнение – уравнение, содержащее трансцендентные функции (иррациональные, логарифмические, показательные, тригонометрические и обратные тригонометрические) от неизвестного (переменного), например уравнения: .

Решить уравнение с параметром означает:

1. Найти все системы значений параметров, при которых данное уравнение имеет решение.

2. Найти все решения для каждой найденной системы значений параметров, то есть для неизвестного и параметра должны быть указаны свои области допустимых значений.

Трансцендентные уравнения с параметрами включают в себя ряд различных трансцендентных функций, именно поэтому решения этих уравнений в большей степени зависят от свойств функций. Рассмотрим каждый вид трансцендентных уравнений с параметрами и попробуем заметить эти особенности при решении задач.

Иррациональные уравнения с параметром

Уравнение называется иррациональным с одним неизвестным x, если одна или обе его части содержат выражения, иррациональные относительно x.

При решении иррациональных уравнений с параметрами следует помнить, что уравнение вида равносильно системе

Неравенство следует из уравнения .

Пример 5. Решить уравнение в зависимости от значений параметра a.

Решение. Преобразуем данное уравнение к виду

Возведем в квадрат обе части уравнения, получим:

Получили квадратное уравнение относительно x. Оно, как известно, имеет решение при , значит для дальнейшего решения необходимо найти дискриминант квадратного уравнения.

1)

.

Подставим полученное значение параметра a в уравнение (2) и найдем значение x.

,

,

,

.

Итак, при .

2)

.

При .

3)Исходя из того, что при уравнение не имеет решений, определим значения параметра a, при которых данное условие выполняется.

.

При уравнение решений не имеет.

Теперь необходимо выполнить проверку.

При подстановке в уравнение (2), имеем: . Получили неверное равенство, так как корень есть число положительное. Значит не является корнем исходного уравнения.

Подставим в уравнение (2), имеем:

,

.

Получили, что правая часть – число отрицательно, следовательно не является решением исходного уравнения.

Подставим в уравнение (2), имеем:

,

. (3) Если , то можем возвести обе части уравнения (3) в квадрат.

.

.

.

Имеем истинное равенство при условии, что . Это условие выполняется при , а может быть корнем уравнения (1) при , следовательно, - корень уравнения (1) при .

Ответ: при ; при уравнение решений не имеет.

Логарифмические уравнения с параметрами

Уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма или (и) в его основании, называется логарифмическим уравнением. Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение вида , где .

При решении логарифмических уравнений удобно использовать следующие утверждения:

Утверждение 1. Если , уравнение при любом действительном b имеет единственное решение .

Утверждение 2. Уравнение равносильно одной из систем:

Утверждение 3. Уравнение равносильно одной из систем:

Пример 6. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение

loga + loga=1 не имеет решения.

Решение.

ОДЗ:

Воспользовавшись основным свойством логарифма, запишем: 1=logaa. Преобразуя наше уравнение, получим равносильное уравнение:

=а,

Проделав равносильные преобразования, и заметив, что знаменатель дробей 1+ всегда положителен, получим уравнение:

(3+2)(4+)=а(1+)2,

(6-а)х+(17-2а)+12-а=0.

Замена: =y, y0.

(6-а)y2+(17-2а)y+12-а=0. (1)

D=(17-2а2)-4(6-а)(12-а)=4а+1.

Так как а>0, то D>0 и квадратное уравнение (1) имеет 2 корня. Учитывая условие y0, имеем y1<0 и y2<0, то есть y1y2>0, y1+y2<0.

y1y2=, y1+y2=.

Значит,

С учетом условия а>0 и а≠1, имеем а(0;1)(1;6)(12;+∞).

Рассмотрим отдельно случай а=6. Тогда квадратное уравнение становится линейным 5y+6=0, то есть y=-6/5, что не удовлетворяет условию y0.

Ответ: при а(0;1)(1;6)(12;+∞) уравнение не имеет решений.[4, № 58]

Показательные уравнения с параметрами

Уравнение, содержащее переменную в показателе степени, называется показательным.

Большинство показательных уравнений с параметрами сводятся к показательным уравнениям вида

где .

Область допустимых значений такого уравнения находится как пересечение областей допустимых значений функций и . Для решения уравнения (1) следует рассмотреть следующие случаи:

1. при a=b=1 решением уравнения (1) является его ОДЗ;

2. при решением уравнения (1) служит решение уравнения на ОДЗ;

3. при решением уравнения (1) служит решение уравнения на ОДЗ;

4. при уравнение (1) равносильно уравнению на ОДЗ;

5. при уравнение (1) тождественно уравнению

(2)

на ОДЗ.

Тождественное преобразование (2) называют логарифмированием. Такое преобразование может привести к потере корней.

Следует отметить, что, исходя из определения показательной функции, случай, когда основание a отрицательно, рассматривать не следует.

Пример 7. Найдите все значения параметра a, при которых уравнение

имеет ровно три корня.

Решение.

Данное уравнение можно записать в виде ,где функция на основании теоремы 2 является возрастающей.

В самом деле, так как , то , следовательно, . Таким образом, исходное уравнение равносильно (по теореме 3) следующему .

Дальнейшее решение проведем графическим способом. Для этого определим, при каких значениях параметра a графики функций

и имеют ровно три общих точки на координатной плоскости yOx.

По графику видим, что требованию задачи отвечает случай . Решая полученное уравнение, находим или .

Ответ: при уравнение имеет ровно три решения.

Тригонометрические уравнения с параметрами

Тригонометрическое уравнение - уравнение, содержащее тригонометрические функции неизвестного аргумента. Формулы решений простейших тригонометрических уравнений:

1. 

.

1. 

.

1. 

2. 

.

При решении тригонометрических уравнений удобно использовать следующие принципы:

1. При решении простейшего тригонометрического уравнения удобно понизить его степень за счет изменения его аргумента.

2. В случае необходимости проверки удобно подставлять в уравнение не значение найденного аргумента, а значения используемых в решении тригонометрических функций.

Пример 8. Найдите все значения параметра a, при которых число 2 является корнем уравнения

Решение.

Поставим в уравнение Получим уравнение относительно параметра a:

Ответ: при корнем уравнения является .

Помимо тригонометрических уравнений среди задач с параметрами встречаются и задачи с параметрами, содержащие обратные тригонометрические функции.

Напомним определения обратных тригонометрических функций:

1. - это функция, определенная на отрезке [-1;1], обратная функции

. Таким образом,

Для любого x из отрезка [-1;1] имеем:

1. - это функция, определенная на отрезке [-1;1], обратная функции

. Таким образом,

Для любого x из отрезка [-1;1] имеем:

1. - это функция, определенная на интервале , обратная функции

. Таким образом,

Для любого x имеем:

1. - это функция, определенная на интервале , обратная функции

. Таким образом,

Для любого x имеем:

Функции называются обратными тригонометрическими функциями или аркфункциями.

Отметим некоторые важные тождества:

Пример 9. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение

имеет ровно три решения.

Решение.

Перепишем исходное уравнение в виде

.

Поскольку равенство равносильно тому, что и , исходное уравнение равносильно тригонометрическому уравнению

Решим уравнение (1).

Если , то

При совокупность, а значит и уравнение (1), имеет бесконечно много корней вида: , которые удовлетворяют условию (2). Т. е. не удовлетворяет требованию задачи.

При уравнение (1) имеет бесконечно много корней вида: .

Для них условие (2) превращается в неравенство

Параметр a включается в ответ тогда и только тогда, когда это неравенство имеет ровно три целочисленных решения. Используя геометрическую интерпретацию модуля разности двух чисел, видно, что это равносильно неравенству

Учитывая условие , получаем

Если решением уравнения (1) являются все действительные числа, условие же (2) принимает вид: , так что множество решений исходного уравнение – это интервал . Поскольку это множество бесконечно, значение не входит в ответ.

Ответ: при уравнение имеет ровно три решения.

Исходя из всех рассмотренных задач, можно сделать вывод, что решать трансцендентные уравнения с параметрами первого и четвертого типов лучше всего методом «ветвления», т. к. требуется найти все значения переменной при каждом возможном значении параметра (или при значениях параметра из заданного промежутка) или же при которых множество решений удовлетворяет заданным условиям. Однако такой метод не всегда надежен, поскольку ход решения достаточно длителен и сложен, поэтому изначально целесообразно определить, возможно ли применить к заданному уравнению функциональный подход, который значительно упрощает решение.

А вот решать трансцендентные уравнения с параметрами второго и третьего типов значительно проще, используя графический метод, поскольку в условии всего лишь требуется определить либо количество решений в зависимости от значения параметра, либо, наоборот, значения параметра, при которых задача имеет заданное количество решений. Из построенных графиков наглядно видно, когда выполняются заданные условия.

Однако не всегда возможно применение того или иного метода, иногда встречаются и такие задачи, для решения которых нужно применить не один, а несколько методов решения.

Задачи с параметрами представляют собой весьма широкое поле для полноценной математической деятельности. Решение такого рода задач открывает перед учащимися значительное число эвристических приемов общего характера, ценных для математического развития личности, применимых в исследованиях и на любом другом математическом материале.

Спецификой задач с параметрами является то, что наряду с неизвестными величинами в них фигурируют параметры, численные значения которых не указаны конкретно, но считаются известными и заданными на некотором числовом множестве. При этом значения параметров существенно влияют на логический и технический ход решения задачи и форму ответа.