НЕКОТОРЫЕ ОСОБЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ С ЭКОНОМИЧЕСКИМ СОДЕРЖАНИЕМ В ЗАДАНИЯХ ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ
Раздел: Материалы I Всероссийской очно-заочной практической конференции "Математика, физика, информатика:проблемы и перспективы современного образования" (Новокузнецк, февраль 2016)
Журнал: Проблемы и перспективы современного математического образования
6 июня 2016 г.
Авторы: Осипова Людмила Александровна
Л. А. Осипова
НЕКОТОРЫЕ ОСОБЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ С ЭКОНОМИЧЕСКИМ СОДЕРЖАНИЕМ В ЗАДАНИЯХ ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ
Одна из важнейших функций современной школы – это воспитание современного делового человека, компетентного в бытовой сфере и социально-трудовой деятельности. На сегодняшний день одним из основных требований для выпускника школы является хорошо развитое экономическое мышление, а также готовность к жизни в условиях рыночных отношений. Экономические знания стали необходимым условием любой профессиональной сферы и повседневной жизни.
Новизной заданий повышенного уровня ЕГЭ является задача, проверяющая умение учащихся использовать полученные знания и умения в реальных жизненных ситуациях. Решение такой задачи требует от учащихся умения анализировать реальные числовые данные, умения осуществлять практические расчеты по формулам. Большинство подобных задач можно отнести к задачам с экономическим содержанием.
Под задачами с экономическим содержанием будем понимать задачи, поставленные в области экономики, решение которых требует использования математического аппарата. Поэтому есть необходимость для формирования у учащихся общей модели решения таких задач различной сложности. Рассматривая практико-ориентированную задачу необходимо сформировать модель данной ситуации. И именно эта ситуация будет объектом для дальнейшего изучения при решении определенной задачи.
В 2016 году в ЕГЭ такие задачи входят в задание под № 17. В спецификаторе профильного уровня в графе "примерное время выполнения" задачи повышенной сложности стоит 30 минут как на задачу с параметром. За правильно решенную задачу можно получить максимально 3 балла за обоснованный и правильный ответ, то есть эта задача считается одной из самых сложных. При любой вычислительной ошибке могут быть сняты 1 или 2 балла.
Задачи с экономическим содержанием являются практико-ориентированными заданиями. Умение решать такие задачи способствует лучшему усвоению содержания курса математики средней школы, позволяет передавать приобретенные знания и навыки в сферу экономики, которые, в свою очередь, стимулируют интерес школьников к проблемам прикладного характера обучения и математики в целом. Это позволяет наиболее полно реализовывать прикладную направленность в обучении и способствовать лучшему обучению и формированию умений решать задачи данного типа.
Анализ банка задач ЕГЭ по математике, а также демоверсии ЕГЭ 2016 [1] года позволил выделить основные подходы к решению задач с практическим содержанием:
1. решение с помощью формул;
2. решение задач в общем виде;
3. решение задач с использованием свойства степеней;
4. решение задач с помощью математического анализа;
5. решение задач методом сравнения.
Все представленные в банке ЕГЭ задачи можно условно разделить на группы и подгруппы:
1. Группа (банковские задачи на вклады)
1) нахождение срока вклада;
2) вычисление процентной ставки по вкладу;
3) нахождение суммы вклада;
4) нахождение ежегодной суммы пополнения вклада.
2. Группа (банковские задачи на кредиты):
1) нахождение количества лет выплаты кредита;
2) вычисление процентной ставки по кредиту;
3) нахождение суммы кредита;
4) нахождение ежегодного транша.
3. Группа (задачи, не связанные с банковскими операциями).
Рассмотрим некоторые особенности решения задач 2 группы.
Если изначальный размер кредита обозначить за В, то процент банка примем равным за р%. Тогда ежегодная выплата по кредиту будет равна Х; тогда через год после начисления процентов и выплаты суммы X размер долга составит: .
Обозначим .
Тогда через 2 года размер долга составит: ;
через три года: ;
через четыре года: ;
через п лет: .
Для подсчета величины в скобках иногда применяется формула суммы n членов геометрической прогрессии.
Формула для суммы n членов геометрической прогрессии следующая:
,
тогда размер долга через n лет составляет
.
ПРИМЕР 1
31 декабря Дмитрий взял в банке 429 000 рублей в кредит под 14,5 % годовых. Схема выплаты следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 14,5 %), затем Дмитрий переводит в банк Х рублей. Какой должна быть сумма Х, чтобы Дмитрий выплатил долг двумя равными ежегодными платежами (то есть за 2 года)? [2]
Решение:
Если сумма кредита – В, процентная ставка – р, ежегодный платеж (транш) – Х, тогда сумма долга ежегодно увеличивается:
Таблица 1
;
;
;
;
(рублей)
Ответ: по 262205 рублей в год.
Большие затруднения в ходе решения вызывают задачи, в которых сумма долга уменьшается равномерно, то есть на одну и ту же величину каждый месяц. В этих задачах идет речь о дифференцированном платеже. При таком типе платежа клиент отдает основной долг равными частями. Каждая выплата состоит из двух частей:
а) выплата основного долга, которая равна сумме, взятой в кредит, деленной на количество платежей;
б) проценты на оставшуюся часть долга.
Первая часть платежа остается неизменной, а вторая меняется с каждым платежом. Поскольку с каждой выплатой размер оставшейся части долга уменьшается, соответственно, после каждой очередной выплаты уменьшается размер выплаты процентов по кредиту.
Для нахождения суммы денег, выплаченных сверх кредита в счет уплаты процентов, удобно использовать формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии.
При решении таких задач удобно использовать следующую таблицу.
Здесь S – сумма кредита; n – количество сроков действия кредита (лет, месяцев); r – процентная ставка.
ПРИМЕР 2.
10-го марта клиент взял кредит в банке на следующих условиях:
- срок кредита 24 месяца;
- 1-го числа каждого следующего месяца долг возрастает на 1,2 % по сравнению с концом предыдущего месяца;
- со 2-го по 9-ое число каждого месяца следует погасить часть долга, так чтобы на 10-ое число каждого месяца долг уменьшался на одну и ту же сумму.
Какая сумма была взята в кредит, если известно, что общая сумму выплат равняется 1,035 млн. рублей?[2].
Решение: Общую сумму выплат можно разделить на две части: основной долг (сумма, взятая в кредит) и выплата по процентам. Причем основной долг разбит на 24 равных платежа. Для наглядности составим таблицу, предварительно обозначив за x – сумму, взятую в кредит.
Тогда по условию задачи долг каждый месяц должен уменьшаться ровно на (руб).
Используем для решения задачи таблицу 2.
Составим уравнение:
(при этом фиксированную часть долга сложим отдельно, а проценты – отдельно и вынесем общий множитель 0,012)
,
тогда в скобках – cумма n первых членов арифметической прогрессии, в которой: ;
.
;
;
.
Ответ: в кредит было взято 900000 рублей.
В рассмотренных примерах показаны основные приемы работы с задачами о кредитах. Замечаем, что использование предложенных таблиц значительно облегчает процесс решения таких задач.
ИНФОРМАЦИОННЫЕ ИСТОЧНИКИ
1. Демонстрационная версия ЕГЭ-2016 по математике. Базовый и профильный уровни [электронный ресурс] // URL: http://www.examen.ru /add/ege/demonstracionnye-varianty-ege.
2. Ларин А.А. Тренировочные варианты ЕГЭ по математике. Базовый и профильный уровни [электронный ресурс] // URL: http://alexlarin.net/ege15.html.