МОДЕЛИ ЛАНЧЕСТЕРА В ПРОФИЛЬНОМ КУРСЕ «ИНФОРМАТИКА И ИКТ»
Раздел: Материалы I Всероссийской очно-заочной практической конференции "Математика, физика, информатика:проблемы и перспективы современного образования" (Новокузнецк, февраль 2016)
Журнал: Проблемы и перспективы современного образования в области информатики и ИКТ
11 мая 2016 г.
Авторы: Гатина В. Д.
В. Д. Гатина
МОДЕЛИ ЛАНЧЕСТЕРА В ПРОФИЛЬНОМ КУРСЕ «ИНФОРМАТИКА И ИКТ»
Раздел компьютерного моделирования является важной частью подготовки обучающихся в курсе «Информатика и ИКТ»[1]. В соответствии с требованиями Федерального государственного образовательного стандарта среднего общего образования, при освоении базового курса информатики у обучающихся должны быть сформированы представления о компьютерно-математических моделях, а также необходимости анализа соответствия модели и моделируемого объекта (процесса) [2].Требования к предметным результатам освоения углубленного курса информатики включают требования к результатам освоения базового курса и дополнительно отражают необходимость приобретения обучающимися опыта:
- построения и использования компьютерно-математических моделей;
- проведения экспериментов и статистической обработки данных с помощью компьютера;
- интерпретации результатов, получаемых в ходе моделирования реальных процессов;
- оценивания числовых параметров моделируемых объектов и процессов [2].
Рассмотрим ланчестеровские модели с позиций возможности их применения при изучении темы «Моделирование» в профильном курсе «Информатика и ИКТ».
При построении компьютерной модели необходимо учитывать соответствие выбранных характеристик реальным качествам объекта, при этом модель должна быть в итоге простой и удобной для последующего изучения.
Ланчестеровские модели являются самыми известными, для их описания используются дифференциальные уравнения, которые описывают динамику сил участников военных конфликтов [3, 4, 5].В рамках компьютерного моделирования достаточно часто применяются популяционные модели, изучающие динамику популяций животных или человека [6, 7], но необходимо отметить, что они схожи сланчестеровскими моделями военных действий, которые также могут применяться в разделе моделирования.
Модель Ланчестера изучает две воюющие стороны, которые можно обозначить через x(t) и y(t), представляющие собой функцию, описывающую численность войск первой (второй) стороны в момент времени t > 0. Скорость изменения численности войск каждой из сторон определяется тремя факторами:
– операционными потерями (пропорциональными численности своих войск);
– боевыми потерями (пропорциональными численности войск противника или произведению численностей войск обеих сторон);
– вводом резервов (выводом в резерв).
Математическое описание модели «обычного сражения» выглядит следующим образом [5]:
где a, b, c и d – положительные константы; u(t) и v(t) – темпы ввода резервов.
Аналогично описываются партизанская война [4]:
где g и h – положительные константы, и смешанная война[6]:
Модели отличаются учетом боевых потерь: в сражении каждая сторона в единицу времени уничтожает число противников, пропорциональное своей численности. Коэффициенты b и c, называемые коэффициентами боевой эффективности, могут измеряться как число выстрелов, производимое одним сражающимся в единицу времени, умноженное на вероятность поражения одним выстрелом одного противника.
Самым простым является случай отсутствия операционных потерь и резервов, когда исходные формулы приводятся к представленным ниже [5]:
Решением системы является квадратичная модель динамики численности войск:
.
Условие «равенства сил» имеет вид .
Существует определенный критический процент потерь, при которых сторона отказывается от продолжения боя. В отсутствии операционных потерь и резервов получим:
x(t) = –gx(t)y(t), y(t) = –hx(t)y(t).
Решением системы является прямая g(y(t) – y0) = h(x(t)– x0), а условием «равенства сил» выражение .
Смешанная война в отсутствии операционных потерь и резервов описывается системой x(t) = –gx(t)y(t), y(t) = –cx(t).
Решением системы является: .
Модель Ланчестера имеет много вариаций и обобщений. В качестве примера рассмотрим два типа моделей: «Хрестоматийная» и «Обычного сражения».
Хрестоматийная модель является самым простым случаем из-за отсутствия операционных потерь и резервов, она описывается следующей формулой:
,
где,x(t), y(t) - численность войск первой (второй) стороны в момент времени t > 0;b ,c– боевая эффективность.
Рассмотрим реализацию модели обычного сражения в электронных таблицах. Компьютерная модель основана на математическом описании, поэтому таблица включает исходные данные, от которых зависит результат моделирования; расчетные данные, представленные временем и системой математических уравнений, а также графики численности армий на каждый момент времени.
Для создания компьютерной модели на первом этапе необходимо внести исходные данные. Затем в расчетную часть вводят соответствующие формулы:
Ячейка Формула
B11 =B10-$C$5*C10
C11 =C10-$C$4*B10
Далее необходимо построить гистограмму изменения численности армий как представлено на рисунке 1.
Рисунок1. Реализация хрестоматийной моделиЛанчестера в электронных таблицах (значения параметров b=0,2; с=0,3)
Таким образом, в результате наблюдается следующая ситуация: при боевой эффективности армий 0,2 и 0,3 выигрывает вторая армия.
Изменим коэффициенты боевой эффективности двух армий и построим гистограмму численности двух армий для данного варианта как представлено на рисунке 2.
Рисунок 2. Реализация хрестоматийной модели Ланчестера в электронных таблицах (значения параметров b=0,3; с=0,3)
Таким образом, убедились, что при одинаковой боевой эффективности победителя нет.
Рассмотрим модель обычного сражения, которая описывается следующей системой дифференциальных уравнений:
где x(t) и y(t)-численность войск первой (второй) армии; t- время; a и c- положительная константа потери; b и d – боевая эффективность; u(t) и v(t) – темпы ввода резервов.
Рассмотрим реализацию данной модели в электронных таблицах. Предварительно заполняем электронную таблицу исходными данными и вносим расчетные формулы.
Ячейка Формула
B11 =B10-$C$5-$D$5*C10+E5
C11 =C10-$C$4-$D$4*B10+E4
Далее необходимо построить гистограмму изменения численности армий, как представлено на рисунке 3.
Рисунок 3. Реализация модели обычного сражения в электронных таблицах
Таким образом, рассмотрев Ланчестерские модели, можно сделать вывод, что они могут быть использованы в профильном школьном курсе «Информатика и ИКТ».
ИНФОРМАЦИОННЫЕ ИСТОЧНИКИ
1. Коткин С.Д., Бойченко Г.Н. Актуальные проблемы развития содержательной линии «Моделирование и формализация» школьного курса информатики // Вестник педагогических инноваций. 2008. №2 (14). С. 22 – 29.
2. Федеральный государственный образовательный стандарт среднего общего образования (утв. приказом Министерства образования и науки РФ от 17 мая 2012 г. N 413)[Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://base.garant.ru/
70188902/#block_108
3. Буянов Б.Б., Лубков Н.В., Поляк Г.Л. Математическая модель длительного вооруженного конфликта // Проблемы управления. 2007. №5. С. 48–51.
4. Вишнякова Л.В., Дегтярев О.В., Слатин А.В. Имитационное операционное моделирование процессов функционирования сложных авиационных систем и комплексов моделирования // Труды конференции «Имитационное моделирование. Теория и практика». Т. 1.– СПб.: СПИИРАН, 2011. –С. 30–41.
5. Новиков Д.А. Иерархические модели военных действий // Управление большими системами: Сборник трудов. 2012. № 37. С. 25-62.
6. Информатика и ИКТ. Задачник по моделированию. 9-11 класс. Базовый уровень / Под ред. Н.В. Макаровой. – СПб.: Питер, 2007. – 192 с.
7. Информатика. 7-9 классы. Базовый курс. Практикум-задачник по моделированию / Под ред. Н.В. Макаровой. – СПб.: Питер, 2007. – 176 с.