Электронный научный журнал

Информационно-коммуникационные технологии
в педагогическом образовании

12+

МОДЕЛИ ЛАНЧЕСТЕРА В ПРОФИЛЬНОМ КУРСЕ «ИНФОРМАТИКА И ИКТ»

Автор: В. Д. Гатина
Раздел: Материалы I Всероссийской очно-заочной практической конференции "Математика, физика, информатика:проблемы и перспективы современного образования" (Новокузнецк, февраль 2016)

Раздел компьютерного моделирования является важной частью подготовки обучающихся в курсе «Информатика и ИКТ»[1]. В соответствии с требованиями Федерального государственного образовательного стандарта среднего общего образования,  при освоении базового курса информатики у обучающихся должны быть сформированы представления о компьютерно-математических моделях, а также необходимости анализа соответствия модели и моделируемого объекта (процесса) [2].Требования к предметным результатам освоения углубленного курса информатики включают требования к результатам освоения базового курса и дополнительно отражают необходимость приобретения обучающимися опыта:

·         построения и использования компьютерно-математических моделей;

·         проведения экспериментов и статистической обработки данных с помощью компьютера;

·         интерпретации результатов, получаемых в ходе моделирования реальных процессов;

·         оценивания числовых параметров моделируемых объектов и процессов [2].

Рассмотрим ланчестеровские модели с позиций возможности их применения при изучении темы «Моделирование» в профильном курсе «Информатика и ИКТ».

При построении компьютерной модели необходимо учитывать соответствие выбранных характеристик реальным качествам объекта, при этом модель должна быть в итоге простой и удобной для последующего изучения.

Ланчестеровские модели являются самыми известными, для их описания используются дифференциальные уравнения, которые описывают динамику сил участников военных конфликтов [3, 4, 5].В рамках компьютерного моделирования достаточно часто применяются популяционные модели, изучающие динамику популяций животных или человека [6, 7], но необходимо отметить, что они схожи сланчестеровскими моделями военных действий, которые также могут применяться в разделе моделирования.

Модель Ланчестера изучает две воюющие стороны, которые можно обозначить через x(t) и y(t), представляющие собой функцию, описывающую численность войск первой (второй) стороны в момент времени t > 0. Скорость изменения численности войск каждой из сторон определяется тремя факторами:

– операционными потерями (пропорциональными численности своих войск);

– боевыми потерями (пропорциональными численности войск противника или произведению численностей войск обеих сторон);

– вводом резервов (выводом в резерв).

Математическое описание модели «обычного сражения» выглядит следующим образом [5]:

где a, b, c и d – положительные константы; u(t) и v(t) – темпы ввода резервов.

Аналогично описываются партизанская война [4]:

где g и h – положительные константы, и смешанная война[6]:

Модели отличаются учетом боевых потерь: в сражении каждая сторона в единицу времени уничтожает число противников, пропорциональное своей численности. Коэффициенты b и c, называемые коэффициентами боевой эффективности, могут измеряться как число выстрелов, производимое одним сражающимся в единицу времени, умноженное на вероятность поражения одним выстрелом одного противника.

Самым простым является случай отсутствия операционных потерь и резервов, когда исходные формулы приводятся к представленным ниже [5]:

Решением системы является квадратичная модель динамики численности войск:

.

Условие «равенства сил» имеет вид  .

Существует определенный критический процент потерь, при которых сторона отказывается от продолжения боя. В отсутствии операционных потерь и резервов получим:

x(t) = –gx(t)y(t), y(t) = –hx(t)y(t).

Решением системы является прямая g(y(t) – y0) = h(x(t)– x0), а условием «равенства сил» выражение .

Смешанная война в отсутствии операционных потерь и резервов описывается системой x(t) = –gx(t)y(t), y(t) = –cx(t).

Решением системы является: .

Модель Ланчестера имеет много вариаций и обобщений. В качестве примера рассмотрим два типа моделей: «Хрестоматийная» и «Обычного сражения».

Хрестоматийная модель является самым простым случаем из-за отсутствия операционных потерь и резервов, она описывается следующей формулой:

,

где,x(t), y(t) - численность войск первой (второй) стороны в момент времени t > 0;b ,c– боевая эффективность.

Рассмотрим реализацию модели обычного сражения в электронных таблицах. Компьютерная модель основана на математическом описании, поэтому таблица включает исходные данные, от которых зависит результат моделирования; расчетные данные, представленные временем и системой математических уравнений, а также графики численности армий на каждый момент времени.

Для создания компьютерной модели на первом этапе необходимо внести исходные данные. Затем в расчетную часть вводят соответствующие формулы:

Ячейка           Формула

B11            =B10-$C$5*C10

C11            =C10-$C$4*B10

            Далее необходимо построить гистограмму изменения численности армий как представлено на рисунке 1.

Рисунок1. Реализация хрестоматийной моделиЛанчестера в электронных таблицах (значения параметров b=0,2; с=0,3)

Таким образом, в результате наблюдается следующая ситуация: при боевой эффективности армий 0,2 и 0,3 выигрывает вторая армия.

Изменим коэффициенты боевой эффективности двух армий и построим гистограмму численности двух армий для данного варианта как представлено на рисунке 2.

Рисунок 2. Реализация хрестоматийной модели Ланчестера в электронных таблицах (значения параметров b=0,3; с=0,3)

Таким образом, убедились, что при одинаковой боевой эффективности победителя нет.

Рассмотрим модель обычного сражения, которая описывается следующей системой дифференциальных уравнений:

где x(t) и y(t)-численность войск первой (второй) армии; t- время; a и c- положительная константа потери; b и d – боевая эффективность; u(t) и v(t) – темпы ввода резервов.

Рассмотрим реализацию данной модели в электронных таблицах. Предварительно заполняем электронную таблицу исходными данными и вносим расчетные формулы.

Ячейка           Формула

B11                 =B10-$C$5-$D$5*C10+E5

C11                 =C10-$C$4-$D$4*B10+E4

            Далее необходимо построить гистограмму изменения численности армий, как представлено на рисунке 3.

Рисунок 3. Реализация модели обычного сражения в электронных таблицах

Таким образом, рассмотрев Ланчестерские модели, можно сделать вывод, что они могут быть использованы в профильном школьном курсе «Информатика и ИКТ».

 

ИНФОРМАЦИОННЫЕ ИСТОЧНИКИ

1.                  Коткин С.Д., Бойченко Г.Н. Актуальные проблемы развития содержательной линии «Моделирование и формализация» школьного курса информатики // Вестник педагогических инноваций.  2008.  №2 (14).  С. 22 – 29.

2.                  Федеральный государственный образовательный стандарт среднего общего образования (утв. приказом Министерства образования и науки РФ от 17 мая 2012 г. N 413)[Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://base.garant.ru/
70188902/#block_108

3.                  Буянов Б.Б., Лубков Н.В., Поляк Г.Л. Математическая модель длительного вооруженного конфликта // Проблемы управления. 2007. №5. С. 48–51.

4.                  Вишнякова Л.В., Дегтярев О.В., Слатин А.В. Имитационное операционное моделирование процессов функционирования сложных авиационных систем и комплексов моделирования // Труды конференции «Имитационное моделирование. Теория и практика». Т. 1.– СПб.: СПИИРАН, 2011. –С. 30–41.

5.                  Новиков Д.А. Иерархические модели военных действий // Управление большими системами: Сборник трудов. 2012. № 37. С. 25-62.

6.                  Информатика и ИКТ. Задачник по моделированию. 9-11 класс. Базовый уровень / Под ред. Н.В. Макаровой. – СПб.: Питер, 2007. – 192 с.

7.                  Информатика. 7-9 классы. Базовый курс. Практикум-задачник по моделированию / Под ред. Н.В. Макаровой. – СПб.: Питер, 2007. – 176 с.

Оставить комментарий







Авторизация
E-mail

Пароль  


Регистрация