Электронный научный журнал

Информационно-коммуникационные технологии
в педагогическом образовании

12+

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

Автор: А. Г. Калинина
Раздел: Проблемы и перспективы современного математического образования

УДК 514.7

А. Г. Калинина

A. G. Kalinina

Калинина Алевтина Геннадьевна, учитель высшей квалификационной категории, МБОУ «Гимназия № 1», г. Чебоксары, Чувашская Республика.

Kalinina Alevtina Gennadievna, teacher of the highest qualification category, Municipal budgetary educational institution «Gymnasium № 1», Cheboksary, Chuvash Republic.

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

GEOMETRIC METHODS OF SOLUTION OF ALGEBRAIC PROBLEMS

Аннотация. В этой статье рассматриваются геометрические способы решения алгебраических задач, в которых применяются известные теоремы тригонометрии и базовые сведения из аналитической геометрии.

Annotation. Geometric methods of solution of algebraic problems are considered in this paper. Here famous trigonometric theorems and base knowledge in analytic geometry are used.

Ключевые слова: теорема синусов, теорема косинусов, неравенство треугольника, наименьшее и наибольшее значения, расстояние между точками, длина вектора, свойство коллинеарности векторов, скалярное произведение векторов.

Keywords: law of sines, law of cosines, the triangle inequality, lowest and highest values, distance between points, vector length, property of collinearity of vectors, scalar product of vectors.

Между геометрическими и алгебраическими задачами, между языком алгебры (язык формул) и языком геометрии (язык расстояний) существует связь, которая помогает упростить решение алгебраической задачи.

Задача 1.

Найти наименьшее значение выражения .

Решение. Введём обозначения , тогда .

Сторона a представляет собой сторону треугольника со сторонами 1 и x и углом между ними в 60°. Следовательно,

.

Сторона b представляет собой сторону треугольника со сторонами 1 и x и углом между ними в 30°. Значит, CDA = 90° (рис. 1).

Наименьшее значение данного выражения достигается, когда точка B лежит на АС. Так как по неравенству треугольника каждая сторона меньше суммы двух других, то есть АС < СВ + АВ, то a + b = AC. Найдём AC, применив теорему Пифагора к треугольнику CDA (рис. 2). Значит, наименьшее значение данного выражения равно √2.

Задача 2.

Решить уравнение: .

Решение. Введём обозначения , тогда , где

m третья сторона треугольника со сторонами 2√3, √3 и углом между ними, равным x;

n – третья сторона треугольника со сторонами 2, √3 и углом между ними, равным . Но  (рис. 3). Значит, треугольник АВС прямоугольный. Применив к нему теорему Пифагора, находим АВ: .

Так как по условию m + n= АD + DB = 4 и АВ =4, то точка D должна лежать на отрезке АВ (на основании неравенства треугольника каждая сторона треугольника АDB должна быть меньше суммы двух других сторон).

Если AB, то выполняется равенство . В самом деле, .

Задача 3.

Решить систему уравнений:

Решение. Рассмотрим векторы  и их длины:

С другой стороны,

Таким образом, получаем равенство: . Это равенство выполняется тогда и только тогда, когда векторы  сонаправлены. По свойству сонаправленных векторов их координаты пропорциональны. Следовательно, данная система равносильна следующей системе:

Всем ограничениям удовлетворяет только одно решение:

Откуда находим, что x = 0,6.

Аналогично, y = 1,2; z = 1,8; t = 2,4.

Задача 4.

Найти наименьшее значение выражения .

Решение. Данное выражение есть сумма расстояний от точки А(х;х) прямой у = х до точек В(1;6) и С(4;2). Первое слагаемое – это расстояние от точки А(х;х) до точки В(1;6), второе слагаемое – это расстояние от точки А(х;х) до С(4;2).

В силу неравенства треугольника, сумма длин отрезков АВ и АС будет наименьшей, если точка А лежит на ВС, т.е.

Задача 5.

Решить систему уравнений

Решение. Преобразуем первое уравнение к такому виду: . Так как , то полученное уравнение можно представить в виде:

Из второго уравнения системы . Тогда  и . Отсюда, . Тогда 2α + 2β + 2γ = π. Уравнение  представляет теорему синусов для треугольника со сторонами 6, 8, 10.

По теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник с такими сторонами является прямоугольным. Сторона длиной 10 – гипотенуза и лежит напротив угла 2γ = 90°. Отсюда,

Получаем квадратное уравнение: 3tg²α - 10tg α + 3, где 0 < tg α < 1, α - острый угол, tg α = 1/3 = x. Аналогично для у: .

Ответ: .

Задача 6.

Решить уравнение .

Решение. Рассмотрим левую часть уравнения как скалярное произведение векторов . По определению скалярного произведения

Проверку корней выполняем либо подстановкой их в уравнение, либо проверкой следующих условий: подкоренные выражения неотрицательны и левая часть равенства неотрицательна.

Задача 7.

Найти наибольшее значение выражения х+2у, если

Решение. Выделим полный квадрат под квадратным корнем и разделим уравнение на 5:

Тогда первое слагаемое представляет собой расстояние от точки М(x;y) до прямой -3x+4y=0 (MH), а второе слагаемое – расстояние от M(x;y) до точки К(0;-10) (MK) [1]. Значит, MH + MK = 8 (рис. 5).

Проведём из точки К перпендикуляр к прямой ОН: PK  OH. Так как точка P лежит на прямой y = 3/4 x, то её координаты удовлетворяют уравнению этой прямой. Значит, точка P имеет координаты . Треугольники ΔOPS и ΔOKP подобны по двум углам. Из подобия треугольников следует:

Далее применим теорему Пифагора к треугольнику OPK:

Тогда OP = 6.

Значит, точка М лежит на РК, так как расстоянием от точки М до прямой является длина отрезка МР, а расстоянием от точки М до точки К является длина отрезка МК и РК = 8 = МР+МК по доказанному.

Найдём а = PS, применив теорему Пифагора к треугольнику OPS:

Так как точка М лежит на отрезке МК, то её координаты удовлетворяют условиям:

Прямая PK является графиком убывающей функции . Тогда . Найдём наибольшее значение функции . Поскольку угловой коэффициент отрицательный, то функция y = f(x) убывает на всей числовой оси, а её наибольшее значение на отрезке [-25/5; 0] достигается на левом конце этого отрезка, в точке

Список литературы

  1. Прокофьев, А. А. Технология подготовки учащихся к овладению геометрическими методами решения задач с параметрами [Текст]. / А. А. Прокофьев. – М. : МИЭТ, 2014.
Теги: теорема синусов, теорема косинусов, неравенство треугольника, наименьшее и наибольшее значения, расстояние между точками, длина вектора, свойство коллинеарности векторов, скалярное произведение векторов

Оставить комментарий







Авторизация
E-mail

Пароль  


Регистрация