ФУНКЦИЯ ГРИНА И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЕ К РЕШЕНИЮ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Раздел: Научно-практическая работа студентов педагогического вуза
Журнал: Научно-исследовательская деятельность педагогов и студентов
15 апреля 2015 г.
Авторы: Вагина Кристина Валерьевна
К. В. Вагина
Научный руководитель: к. ф. м. н., доцент Фураев Валерий Зиновьевич.
ФУНКЦИЯ ГРИНА И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЕ К РЕШЕНИЮ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Для уравнения второго порядка можно рассматривать вопрос не только о нахождении решения по заданным в одной точке начальным условиям, определяющим в указанной точке значения как самого решения уравнения, так и его производной (Задача Коши), но и о поиске решения по граничным условиям в двух фиксированных точках, задающих в них (как в концах соответствующего промежутка) информацию о решении уравнения и (или) его производной (краевую задачу).
Краевой задачей называется такая задача, в которой требуется найти решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее дополнительным условиям, заданным на разных концах интервала интегрирования.
Условно краевые задачи можно подразделить:
Линейная краевая задача для дифференциального уравнения
называется однородной, если, во-первых, f(x)=0 (т.е. само дифференциальное уравнение однородно) и, во-вторых A=B=0
(т.е. граничные условия также однородны); в противном случае краевая задача называется неоднородной.
Функция Грина - функция, связанная с интегральным представлением решений краевых задач для дифференциальных уравнений. Функция Грина позволяет найти решения неоднородного уравнения, удовлетворяющие однородным краевым условиям.
Пример. (Смешанная краевая задача) Решить краевую задачу для уравнения Эйлера
с неоднородными граничными условиями y(0)=0, y′(1)=1.
Решение. Выполним следующую подстановку:
Производные будут равны:
Подставляем в исходное уравнение Эйлера, имеем:
Приведем граничные условия к однородным. Для этого ищем решение в виде y(t)=z(t)+g(t), где g(t) - произвольная функция удовлетворяющая неоднородным граничным условиям рассматриваемой задачи. Выберем g(t)=t. Тогда y(t)=z(t)+t. Продифференцируем два раза: y′=z′+1, y′′=z′′. Для функции z(t) получим:
Запишем соответствующее характеристическое уравнение:
Характеристическое уравнение имеет один корень второго порядка: λ=4. Поэтому общее решение дифференциального уравнения определяется формулой:
Функции a и b зависят от ξ и определяются из следующих требований:
Отсюда получаем следующую систему уравнений и решаем ее относительно a и b:
Тогда функция Грина имеет вид:
Решение краевой задачи выражается формулой
Возвращаемся к замене переменной:
