УРАВНЕНИЯ С ПАРАМЕТРОМ В ЗАДАНИЯХ ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ
Раздел: Материалы I Всероссийской очно-заочной научно-практической конференции «Проблемы и перспективы современного физико-математического, информационного и технологического образования» (Новокузнецк, февраль 2017)
Журнал: Математика, физика, технология: проблемы и перспективы современного образования
28 февраля 2017 г.
Авторы: Фомина Анжелла Владимировна , Тимофеева Анастасия Игоревна
УДК 371.279.6:51
А. И. Тимофеева, А. В. Фомина
Тимофеева Анастасия Игорева, студентка 5 курса ФМиТЭФ НФИ КемГУ, г. Новокузнецк.
Фомина Анжелла Владимировна, кандидат физ.-мат. наук, доцент, НФИ КемГУ, г. Новокузнецк.
УРАВНЕНИЯ С ПАРАМЕТРОМ В ЗАДАНИЯХ ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ
Аннотация. Тема, затронутая в статье, касается решения уравнений с параметром различных видов. Рассмотрены два метода реализации решения уравнений с параметром. Разработаны тренировочные задания уравнений с параметром для подготовки к ЕГЭ по математике.
Ключевые слова: параметр, уравнения с параметром, виды уравнений, аналитический метод, графический метод.
На сегодняшний день задачи с параметрами – неотъемлемая часть ЕГЭ по математике. Уравнения с параметром являются заданиями повышенного уровня сложности в системе заданий ЕГЭ по математике. За правильное решение этого задания можно заработать 4 балла. Система тренировочных заданий, разработанная авторами, направлена на овладение учащимися основными методами и приемами решения уравнений и неравенств с параметрами, подготовку учащихся к успешной сдаче ЕГЭ по математике.
Методы решения уравнений с параметром
«Уравнение с параметром – это целое семейство уравнений, получаемых при подстановке конкретных значений а. Решить уравнение с параметром означает выяснить, при каких значениях параметра решения вообще существуют, сколько их, и в случае их существования дать формулы решения, т. е. выразить х через параметры» [2].
I. Аналитический метод решения уравнений с параметром
Для того чтобы решить уравнение с параметром аналитическим методом, необходимо выполнить две задачи:
- исследовать, при каких значениях параметров уравнение имеет корни и сколько их при разных значениях параметров;
- найти все выражения для корней и указать для каждого из них те значения параметров, при которых это выражение действительно определяет корень уравнения [3; 4].
II. Графический метод решения уравнений с параметром
Можно выделить два основных графических приёма: первый – интерпретация задачи в плоскости (х; у), второй — в плоскости (х; а).
Авторами рассматривались следующие виды уравнений с параметром, встречающиеся на ЕГЭ по математике: линейные уравнения с параметром; квадратные уравнения с параметром; уравнения с параметром, содержащие модуль; иррациональные уравнения с параметром; показательные уравнения с параметром; логарифмические уравнения с параметром; тригонометрические уравнения с параметром.
На каждый из видов уравнений с параметром был подобран и решен пример двумя методами: аналитическим и графическим.
В качестве примера рассмотрим уравнение с параметром, содержащее модуль.
И рассмотрим возможное число корней уравнения |x| = a, зависящее от параметра а.
При a > 0 уравнение имеет два корня.
При а = 0 уравнение имеет единственный корень.
При a < 0 уравнение не имеет корней [3; 4].
В качестве примера приведем решение задания из сборника «ЕГЭ. Математика. Профильный уровень» под ред. И. В. Ященко 2016 г. [1].
Пример. Найдите все значения параметра а, при которых любое число из отрезка 2 ≤ x ≤ 3 является решением уравнения |x-a-2|+|x+a+3| = 2a+5.
Решение:
Сначала решим уравнение аналитическим методом.
Рассмотрим три случая:
- Пусть 2a+5 < 0, тогда уравнение решений не имеет.
- Пусть 2a+5 = 0, следовательно а = -2,5. |x+0,5|+|x+0,5| = 0. Ни одно число отрезка [2; 3] не является его решением.
- Пусть 2a+5 > 0, тогда a > -2,5.
Запишем исходное уравнение в виде: |x-(a+2)|+|x-(-a-3)| = 2a+5. Подставляя любые значения больше – 2,5 вместо а, отметим следующее верное неравенство -a-3 < a+2. Откуда и вытекает, что любое число из отрезка [-a-3; a+2] является решением неравенства. Необходимо найти значения а, при каждом из которых отрезок [-a-3; a+2] содержит отрезок [2; 3]. Значения параметра а найдем из системы:
Ответ: a ≥ 1.
Рассмотрим графический метод решения уравнения.
Следовательно, решений нет.
Заметим, что решением уравнения является х = -0,5, но это значение не принадлежит отрезку [2; 3].
По рисунку 3 видно, что любое число из отрезка 2 ≤ x ≤ 3 является решением уравнения в том случае, если выполняются равенства 
. Решая систему уравнений с модулем, получаем, что значения а будут больше или равны единице.
Ответ: a ≥ 1.
Авторами были рассмотрены различные виды уравнений с параметром и методы их решения. Разработана система тренировочных заданий по теме «Уравнения с параметром» для подготовки к ЕГЭ по математике, в которой подобраны уравнения с параметром различных видов для самостоятельного решения с ответами.
Список литературы
- Гущин, Д. Д. «Решу ЕГЭ»: математика. Обучающая система Дмитрия Гущина [Электронный ресурс] / Д. Д. Гущин. – Режим доступа : https://ege.sdamgia.ru/test?theme=219
- Пратусевич, М. Я. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс [Текст] : учеб. для общеобразовательных учреждений: профильный уровень / М. Я. Пратусевич, К. М. Столбов, А. Н. Головин. – Москва : Просвещение, 2010. – 463 с.
- Фальке, Л. Я. Изучение сложных тем курса алгебры в средней школе [Текст] : учеб.-метод. материалы по математике / Л. Я. Фальке, под ред. Л. Я. Фальке. – Изд. 2-е. – Москва : Народное образование ; Илекса ; Ставрополь : Сервис школа, 2004. – 120 с.
- Ястребинецкий, Г. А. Задачи с параметрами [Текст] : книга для учителя. – Москва : Просвещение, 1986. – 128 с.