Электронный научный журнал

Информационно-коммуникационные технологии
в педагогическом образовании

12+

НЕКОТОРЫЕ ОСОБЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ С ЭКОНОМИЧЕСКИМ СОДЕРЖАНИЕМ В ЗАДАНИЯХ ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ

Автор: Л. А. Осипова
Раздел: Материалы I Всероссийской очно-заочной практической конференции "Математика, физика, информатика:проблемы и перспективы современного образования" (Новокузнецк, февраль 2016)

Одна из важнейших функций современной школы – это воспитание современного делового человека, компетентного в бытовой сфере и социально-трудовой деятельности. На сегодняшний день одним из основных требований для выпускника школы является хорошо развитое экономическое мышление, а также готовность к жизни в условиях рыночных отношений. Экономические знания стали необходимым условием любой профессиональной сферы и повседневной жизни.

Новизной заданий повышенного уровня ЕГЭ является задача, проверяющая умение учащихся использовать полученные знания и умения в реальных жизненных ситуациях. Решение такой задачи требует от учащихся умения анализировать реальные числовые данные, умения осуществлять практические расчеты по формулам. Большинство подобных задач можно отнести к задачам с экономическим содержанием.

Под задачами с экономическим содержанием будем понимать задачи, поставленные в области экономики, решение которых требует использования математического аппарата. Поэтому  есть необходимость для формирования у учащихся общей модели решения таких задач различной сложности. Рассматривая практико-ориентированную задачу необходимо сформировать модель данной ситуации. И именно эта ситуация будет объектом для дальнейшего изучения при решении определенной задачи.

В 2016 году в ЕГЭ такие задачи входят в задание под № 17. В спецификаторе профильного уровня в графе "примерное время выполнения" задачи повышенной сложности стоит 30 минут  как на задачу с параметром. За правильно решенную задачу можно получить максимально 3 балла за обоснованный и правильный ответ, то есть эта задача считается одной из самых сложных. При любой вычислительной ошибке могут быть сняты 1 или 2 балла.

Задачи с экономическим содержанием являются практико-ориентированными заданиями. Умение решать такие задачи способствует лучшему усвоению содержания курса математики средней школы, позволяет передавать приобретенные знания и навыки в сферу экономики, которые, в свою очередь, стимулируют интерес школьников к проблемам прикладного характера обучения и математики в целом. Это позволяет наиболее полно реализовывать прикладную направленность в обучении и способствовать лучшему обучению и формированию умений решать задачи данного типа.

Анализ банка задач ЕГЭ по математике, а также демоверсии ЕГЭ 2016 [1] года позволил выделить основные подходы к решению задач с практическим содержанием:

1.      решение с помощью формул;

2.      решение задач в общем виде;

3.      решение задач с использованием свойства степеней;

4.      решение задач с помощью математического анализа;

5.      решение задач методом сравнения.

Все представленные в банке ЕГЭ задачи можно условно разделить на группы и подгруппы:

1.      Группа (банковские задачи на вклады)

         1)      нахождение срока вклада;

         2)      вычисление процентной ставки по вкладу;

         3)      нахождение суммы вклада;

         4)      нахождение ежегодной суммы пополнения вклада.

2.      Группа (банковские задачи на кредиты):

         1)      нахождение количества лет выплаты кредита;

         2)      вычисление процентной ставки по кредиту;

         3)      нахождение суммы кредита;

         4)      нахождение ежегодного транша.

3.      Группа (задачи, не связанные с банковскими операциями).

Рассмотрим некоторые особенности решения задач 2 группы.

Если изначальный размер кредита обозначить за В, то процент банка примем равным за р%. Тогда  ежегодная выплата по кредиту будет равна Х;  тогда через год после начисления процентов и выплаты суммы X размер долга составит: .

Обозначим .

Тогда через 2 года размер долга составит: ;

через три года: ;

через четыре года: ;

через п лет: .

Для подсчета величины в скобках иногда применяется формула суммы n членов геометрической прогрессии.

Формула для суммы n членов геометрической прогрессии следующая:

,

тогда    размер долга через n лет  составляет

.

ПРИМЕР 1

31 декабря Дмитрий взял в банке 429 000 рублей в кредит под 14,5 % годовых. Схема выплаты следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 14,5 %), затем Дмитрий переводит в банк Х рублей. Какой должна быть сумма Х, чтобы Дмитрий выплатил долг двумя равными ежегодными платежами (то есть за 2 года)? [2]

Решение:

Если сумма кредита – В, процентная ставка – р, ежегодный платеж (транш) – Х, тогда сумма долга ежегодно увеличивается:

Таблица 1

;

;

;

;

(рублей)

Ответ: по 262205 рублей в год.

Большие затруднения в ходе решения вызывают задачи, в которых сумма долга уменьшается равномерно, то есть на одну и ту же величину каждый месяц. В этих задачах идет речь о дифференцированном платеже. При таком типе платежа клиент отдает основной долг равными частями. Каждая выплата состоит из двух частей:

а) выплата основного долга, которая равна сумме, взятой в кредит, деленной на количество платежей;

б) проценты на оставшуюся часть долга.

Первая часть платежа остается неизменной, а вторая меняется с каждым платежом. Поскольку с каждой выплатой размер оставшейся части долга уменьшается, соответственно, после каждой очередной выплаты уменьшается размер выплаты процентов по кредиту.

Для нахождения суммы денег, выплаченных сверх кредита в счет уплаты процентов, удобно использовать формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии.

При решении таких задач удобно использовать следующую таблицу.

  
Здесь  S – сумма кредита; n – количество сроков действия кредита (лет, месяцев); r – процентная ставка.

 ПРИМЕР 2.

 10-го марта клиент взял кредит в банке на следующих условиях:

- срок кредита 24 месяца;

- 1-го числа каждого следующего месяца долг возрастает на 1,2 % по сравнению с концом предыдущего месяца;

- со 2-го по 9-ое число каждого месяца следует погасить часть долга, так чтобы на 10-ое число каждого месяца долг уменьшался на одну и ту же сумму.

Какая сумма была взята в кредит, если известно, что общая сумму выплат равняется 1,035 млн. рублей?[2].

Решение: Общую сумму выплат можно разделить на две части: основной долг (сумма, взятая в кредит)  и выплата по процентам. Причем основной долг разбит на 24 равных платежа. Для наглядности составим таблицу, предварительно обозначив за x – сумму, взятую в кредит.

Тогда по условию задачи долг каждый месяц должен уменьшаться ровно на  (руб).

Используем для решения задачи таблицу 2.

 

Составим уравнение:

(при этом фиксированную часть долга сложим отдельно, а проценты – отдельно и вынесем общий множитель 0,012)

,

тогда в скобках – cумма n первых членов арифметической  прогрессии, в которой:  ;

.

;

;

.

Ответ: в кредит было взято 900000 рублей.

В рассмотренных примерах показаны основные приемы работы с задачами о кредитах. Замечаем, что использование предложенных таблиц значительно облегчает процесс решения таких задач.

ИНФОРМАЦИОННЫЕ ИСТОЧНИКИ

1.             Демонстрационная версия ЕГЭ-2016 по математике. Базовый и профильный уровни [электронный ресурс] // URL:  http://www.examen.ru /add/ege/demonstracionnye-varianty-ege.

2.             Ларин А.А. Тренировочные варианты ЕГЭ по математике. Базовый и профильный уровни [электронный ресурс] // URL: http://alexlarin.net/ege15.html.

 

Теги: задачи с экономическим содержанием, банковский вклад, кредит, дифференцированный платеж, ЕГЭ по математике

Оставить комментарий







Авторизация
E-mail

Пароль  


Регистрация