ЧЕТЫРЕ СПОСОБА РЕШЕНИЯ ОДНОЙ ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРОМ
Раздел: Материалы I Международной очно-заочной научно-практической конференции по математике, физике, информатике, робототехнике, технологии, астрономии учащихся 5-11 классов
Журнал: Научно-исследовательская работа школьников «Мир моих исследований»
28 июня 2017 г.
Авторы: Зеленин Дмитрий Сергеевич
УДК 372.851
Д. С. Зеленин
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение Лесоперевалочной СОШ №2, с. Бельтирское, Аскизский район.
ЧЕТЫРЕ СПОСОБА РЕШЕНИЯ ОДНОЙ ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРОМ
Аннотация. Тема, затронутая в статье, касается решения несколькими способами уравнения с параметром, направленная на личностное развитие учащихся. Рассмотрены этапы реализации образовательного проекта и, следуя этим этапам, разработан проект по математике для учащихся 9 классов на тему «Четыре способа решения одной задачи с параметром».
Определить число решений уравнения │х+2│= а х + 1 в зависимости от значения параметра а.
I способ (аналитический).
Уравнение │х+2│= а х+1 определено при любом действительном значении параметра а и равносильно следующим системам:
При -1<а <1/2 уравнение имеет два корня х1= 1/(а-1) и х2=-3/(а+1).
Если а=1/2, то х1=х2=-2.
Если а≤-1, или а=0,5 или а>1, то х=1/(а-1) – одно решение.
Если 0,5<а≤1, то уравнение не имеет решений.
Интересный способ, но важно рассмотреть все случаи.
II способ (использование координатной плоскости (х; а)) (рис. 5)
1. Пусть х=0, тогда │0+2│=а*0+1, получаем 2=1 – неверно, решений нет.
При любом значении параметра a значение х=0 не является конем уравнения │х+2│= а х+1.
2. Пусть х≠ 0, тогда а= (-1+│х+2│)/х
Если х≥ -2, то а=(-1+х+2)/х=(х+1)/х=1+1/х
а=1+1/х. Построим таблицу (табл. 1).
Если х< -2, то а=(-1-х-2)/х= (-х-3)/х = -1-3/х.
а=-1-3/х. Построим таблицу (табл. 2)
На рисунке 5 мы видим, что при а>1, а=1/2, а≤ -1 – уравнение имеет одно решение.
При -1<а<1/2 – два решения и при 1/2 <а ≤ 1- решений нет.
Быстро, просто, доступно на экзамене.
III способ (поворот прямой).
Построим графики функций у=│х+2│и у = а х+1 (рис. 6).
у=│х+2│ – графиком является угол, вершина которого находится в точке А(-2; 0).
Функция у= ах+1 – семейство прямых, каждая из которых проходит через точку В (0;1), т.е. прямые вращаются вокруг точки
Если прямая у= ах+1 параллельна прямой у=х+2, то графики функций у=│х+2│и у= ах+1 общих точек не имеют, следовательно уравнение не имеет решений.
Если а>1, то прямая у= ах+1 будет поворачиваться против часовой стрелки и обязательно пересечется с прямой у=х+2. следовательно, уравнение имеет единственное решение.
Продолжим поворачивать прямую по часовой стрелке. Прямая у= ах+1 пересекает обе стороны угла у=│х+2│до тех пор, пока не станет параллельна прямой у =-х-2. Тогда получаем а=-1. Следовательно, при -1<а<1/2 уравнение имеет два решения, а при а=-1 – одно решение. При дальнейшем уменьшении значения параметра а, будет пересекать только одну сторону угла, следовательно, уравнение будет иметь только одно решение.
Этот способ в школе не рассматривается и поэтому интересен, но сложен, требуется терпения и понимания.
IV способ (параллельный перенос).
Построим графики функций y1 = ||2x|-1| (рис. 7).
График функции у1= ││2х│-1│ касается оси Ох в точках А(-0,5;0) и В (0,5;0).
Прямая у2= х-а имеет ровно три точки пересечения с графиком функции у1 тогда и только тогда, когда она проходит через точку А или точку С(0;1). Во всех остальных случаях количество точек пересечения графиков функций у1= ││2х│-1│ и у2= х-а будет или больше, или меньше трех. Найдем значения параметра а в первом и втором случаях.
Пусть прямая у2= х-а проходит через точку А, тогда 0=-1/2 –а, значит а=1/2.
Если прямая у2= х-а проходит через точку С, то а= -1. а= -1/2 или а= -1.
Способ легкий и его можно применять на ОГЭ.
Список литературы
- Мордкович, А. Г. Алгебра, 9 класс. В 2-х томах [Текст]. / А. Г. Мордкович, Н. П. Николаев, Л. И. Звавич [и др.]. – М.: Мнемозина. – 2015. – 509 с.
- Открытый урок [Электронный ресурс]. – Первое сентября. – Режим доступа : http://festival.1september.ru/
- Теорема [Электронный ресурс]. – Википедия: свободная энциклопедия. – Режим доступа : http://ru.wikipedia.ord/wiki/Теорема
Научный руководитель: учитель математики
Сафьянова С. В.